はじめに
電磁波の波動方程式を導出して、電磁場のエネルギーが
伝播する様子を考えてみる。
波動方程式の導出
マクスウェル方程式のファラデーの電磁誘導の法則から出発する
$$ \nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}} $$
両辺にローテーションをとって
$$ \nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})= \nabla\times(-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}) $$
まず左辺を考える
$$
\begin{align}
\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) &= \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E}) - \nabla^{2}\boldsymbol{E} \\
&=\nabla(\frac{1}{\varepsilon_{0}}\rho) - \nabla^{2}\boldsymbol{E} \\
&=\frac{1}{\varepsilon_0}\nabla\rho - \nabla^{2}\boldsymbol{E}
\end{align}
$$
次に右辺を考えて $$ \begin{align} \nabla\times(-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}) &= -\frac{\partial}{\partial{t}}\nabla\times\boldsymbol{B}\\ &= -\frac{\partial}{\partial{t}}\mu_0(\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial{t}}) \end{align} $$
右辺の変形ではアンペール・マクスウェルの法則を使った。 $$ \nabla\times\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial{t}}{\partial{t}}\boldsymbol{E} $$
右辺と左辺から
$$ (\nabla^{2} - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}})\boldsymbol{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\nabla{\rho} + \mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{j} \cdot\cdot\cdot(1) $$
次にアンペール・マクスウェルの法則の両辺にローテーションをとって
$$ \nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) = \mu_0\nabla\times\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}\nabla\times\boldsymbol{E} $$
まず左辺から $$ \begin{align} \nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) &= \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) -\nabla^{2}\boldsymbol{B} \\ &= -\nabla^{2}\boldsymbol{B} \end{align} $$
単電荷は存在しないことを表す\(\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0\)より左辺の変形をした。
次に右辺
$$ \begin{align} \mu_0\nabla\times\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}\nabla\times\boldsymbol{E} &= \mu_0\nabla\times\boldsymbol{j} +\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}(-\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{E})\\ &= \mu_0\nabla\times\boldsymbol{j} -\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}}\boldsymbol{E} \end{align} $$
右辺と左辺を合わせて
$$ (\nabla^{2} - \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}})\boldsymbol{B} = -\mu_0\nabla\times\boldsymbol{j} \cdot\cdot\cdot(2) $$
真空中では電荷密度\(\rho = 0\)電流密度\(\boldsymbol{j} = 0\)となるので
式(1)式(2)より
$$ (\nabla^{2} - \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}})\boldsymbol{E} = 0\\ (\nabla^{2} - \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}})\boldsymbol{B} = 0 $$
となる。光速cは $$ c \equiv \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} $$
と定義されるので波動方程式は $$ (\nabla^{2} - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}})\boldsymbol{E} = 0\\ (\nabla^{2} - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial{t^{2}}})\boldsymbol{B} = 0 $$
となる。
